2000 年 5 月 24 日，美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立 100 万美元的巨额奖金。距此次会议 100 年前的 1900 年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特 (David Hilbert) 的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。

这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个共同之处，那就是在所列出的难题之中，有一个——并且只有一个难题是共同的，那个难题就是 “黎曼猜想” (Riemann hypothesis)。

黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题， 那就是素数的分布。素数是像 2、5、19、137 那样除了 1 和自身以外不能被其它正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于 1 的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于构筑万物的原子在物理世界中的地位。

素数的定义简单得可以在中学、甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今未能彻底了解。黎曼那篇论文的一个重大成果，就是发现素数分布的奥秘完全蕴藏了在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼 ζ 函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点 。

有意思的是，黎曼那篇论文的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多 “证明从略” 的地方。而要命的是，“证明从略” 原本是该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些 “证明从略” 的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。

黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在１８５９年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这就是困扰人们百年之上的黎曼猜想。

这个未解决的问题是希尔伯特23个问题中的第8个问题，至今仍没有人证明。对于某些其它的领域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。

黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

荷兰三位数学家 利用电子计算机来检验黎曼的假设他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。在1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。