在漫长的人类发展史中，人们对“无穷”与“极限”的认识越来越深刻，最终发现了数学中“最自然”、“最美”的一个数：“e”。

欧拉恒等式

但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。

这个等式有一个几何的直观解释，一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2，可以分别得到结果1，i，-1，-i，1，即旋转4次以后就回到了原位，而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ，根据欧拉公式eiθ = cosθ+isinθ可以看出 eiθ 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量，所以 eiπ 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

调和级数

所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一个发散级数，当n趋于无穷大的时候，这个和也将趋于无穷大，但是同样是发散的级数，发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢？伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案：

因此调和级数的发散速度和ln函数的发散速度一致。

奇妙的螺线

e在很多方面都有着极为重要的作用，比如数学中一种重要的曲线——螺线，还有正态分布，弹簧振子的运动，RC电路，人口增长模型等……e在许多螺线方程的表达式中扮演着不可或缺的作用。比如，我们将指数函数e^x作极坐标变换，那么在极坐标系下，它的图像就变成了如下图的样子，这叫对数螺线，又叫等角螺线。之所以叫等角螺线，是因为在下图中，从原点出发的任意一条射线，和螺线所成的角度始终是相等的，是固定值。

在自然界中，有许多和等角螺线相像的自然现象，比如旋涡星系的旋臂，蜘蛛网的构造，玫瑰花的花瓣，鹦鹉螺的贝壳等等，或许这与e被称为自然常数有一定的关系。

作为自然常数，e不仅是一个没有确定数值的无理数，也是独一无二的超越数，除了在数学中，它还存在于自然科学的各个领域。或许，是因为它的“自然”和“独一无二”，才造就了它不一般的奇妙。