费马大定理

世界三大数学猜想之一

前言

大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。

在写下这些文字之时，费马一定没有想到，这短短的几行字，将在整个数学界掀起一场持续三百多年的轩然大波。这个看似简单的定理，成为了一个让无数数学家为之狂热的谜题。接下来，就让我们一起来看一下费马大定理的前世今生吧！

早年的摸索

最先向费马大定理发起挑战的是欧拉。1753年瑞士著名数学家欧拉，在写给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。

1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。

1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前。

黑暗中的突破

来到二十世纪，1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山-志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化，也就是说谷山-志村猜想将不成立。但弗构造的所谓“弗雷曲线”不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”。

最后的胜利

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，专心攻克费马大定理。

经过7年的努力，怀尔斯将之前的莫德尔猜想、弗雷命题、谷山志村猜想联系在了一起，并于1993年6月23日发布了证明。但是，在审查的过程中，其中由凯兹负责的第三部分查出关于欧拉系的构造有严重缺陷，使科利瓦金-弗莱切方法不能对它适用，怀尔斯对此无能为力，1993年12月怀尔斯公开承认证明有问题。在冥思苦想了八个月后，怀尔斯已经准备承认自己失败了，1994年9月19日怀尔斯想自己证明失败原因该怎么写，回顾自己是先用岩泽理论未能突破而后用科利瓦金-弗莱切方法，又对该法一类特殊欧拉系出了问题，这样一想，突然又想到何不再用岩泽理论结合科利瓦金-弗莱切方法试试？问题解法就是这样，怀尔斯绝处逢生，修补了漏洞。

1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔·鲁宾向世界数学界发送了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模形椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁·怀尔斯，至此费马大定理得证。

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一环环严谨的推导

一次次精妙的计算

数学之美，无处不在

细细品味，乐在其中